Matemáticas modernas y conceptos de educación matemática innovadora

Las matemáticas ocupan un lugar especial en la ciencia, la cultura y la vida social y son un componente esencial del progreso científico y tecnológico mundial.

El estudio de las matemáticas desempeña un papel sistémico en la educación, ya que desarrolla las capacidades cognitivas, incluido el pensamiento lógico, e influye en la enseñanza de otras disciplinas. Una educación matemática de alta calidad es necesaria para el éxito de todos en la sociedad moderna.

El éxito de Rusia en el siglo XXI, la eficiencia del uso de los recursos naturales, el desarrollo de la economía, la capacidad defensiva, la creación de tecnologías modernas dependen del nivel de la ciencia matemática, la educación matemática y la alfabetización matemática de toda la población, el uso eficaz de los métodos matemáticos modernos. Sin un alto nivel de educación matemática es imposible lograr la tarea de crear una economía innovadora, la implementación de metas y objetivos a largo plazo del desarrollo socioeconómico de la Federación Rusa. Los países desarrollados y los que actualmente están realizando un avance tecnológico, invierten importantes recursos en el desarrollo de las matemáticas y la educación matemática.

Rusia tiene una experiencia considerable en la enseñanza de las matemáticas y la ciencia, acumulada entre 1950 y 1980. El desarrollo acelerado de la enseñanza de las matemáticas y de la ciencia, que proporciona un avance en ámbitos estratégicos como la tecnología de la información, la modelización en ingeniería, energía y economía, la previsión de catástrofes naturales y de origen humano, y la biomedicina, mejorará la posición y el prestigio de Rusia en el mundo.

El sistema de educación matemática establecido en Rusia es un sucesor directo del sistema soviético. Hay que preservar sus méritos y superar sus graves inconvenientes. Elevar el nivel de la educación matemática hará que la vida de los rusos en la sociedad moderna sea más completa, proporcionará las necesidades de especialistas cualificados para la producción de ciencia intensiva y de alta tecnología.

“La reina de las ciencias” la llamó Carl Friedrich Gauss, que recibió el título honorífico de “rey de las matemáticas”. Aunque esto tuvo lugar en el siglo XIX, ahora está claro que fue con las matemáticas, hace muchos siglos, cuando se inició la comprensión del mundo que subyace a la formación y desarrollo del conocimiento científico.

Dos siglos después de Pitágoras, Euclides formuló los cinco postulados de la geometría, que han llevado su nombre desde entonces. El más famoso es el quinto postulado, según el cual por un punto tomado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una recta paralela a la recta dada. La cuestión de si este postulado es un axioma independiente o puede deducirse de otros axiomas ha ocupado a los matemáticos durante muchos cientos de años. Gauss fue el primero en darse cuenta de que el quinto postulado no podía demostrarse, que debía tomarse como un axioma independiente y que, además, había otras geometrías en las que no se cumplía el quinto postulado de Euclides. Sin embargo, temiendo por su reputación científica, Gauss no publicó nada sobre el tema. Sólo después de su muerte se supo que había descubierto los hechos iniciales de la geometría de Lobachevsky.

Los primeros en desafiar abiertamente la autoridad de muchos siglos fueron Nikolai Ivanovich Lobachevsky y el matemático húngaro Janos Bolyai. En 1829 Lobachevsky publicó su obra, y dos años más tarde se publicó la de Bolyai. Gauss ya sabía de la prioridad de Lobachevsky y se lo comunicó a Bolyai, que no pudo resistir tal golpe y quedó destrozado para siempre.

Dramático fue también el destino del propio Lobachevsky, cuyo gran descubrimiento no fue reconocido en vida. Y ahora ningún estudio sobre la teoría general de la relatividad, así como los estudios en muchas otras ramas de las ciencias naturales, pueden prescindir de la geometría de Lobachevsky.

La enseñanza de las matemáticas en Rusia comenzó en 1701, cuando por decreto de Pedro el Grande se creó en Moscú la primera escuela rusa de “ciencias matemáticas y de la navegación”. Como escribió Lomonosov, Pedro “vio entonces claramente que ni los regimientos, ni las ciudades pueden fortificarse de forma fiable, ni los barcos pueden construirse y hacerse a la mar con seguridad, sin el uso de las matemáticas.

El primer profesor de matemáticas que trabajó en esta escuela fue Leontius Magnitsky (Telyatin), autor del primer libro de texto de aritmética, el mismo que Lomonosov llamó “la puerta de su erudición”. El seudónimo de Magnitsky le fue otorgado por Pedro I por el hecho de que atrajo como un imán sus conocimientos y su talento, dando lugar a un mayor desarrollo intensivo y fructífero de las matemáticas en nuestro país.

Los éxitos de la escuela rusa de matemáticas son ahora generalmente reconocidos. En un periodo de tiempo relativamente corto, Rusia se ha convertido en uno de los países con más conocimientos matemáticos del mundo, mientras que su escuela de matemáticas ha obtenido el reconocimiento internacional y se ha convertido en una fuerza integral y, en muchos ámbitos, en la principal de la comunidad matemática mundial.

Es importante e interesante pensar en cómo han cambiado las matemáticas en las últimas décadas. Actualmente se habla mucho de la relación cambiante entre las matemáticas “continuas” y las discretas. A menudo se oye decir que antes, es decir, en la era preinformática, la mayor parte de las matemáticas eran “continuas”, pero ahora la situación ha cambiado a la inversa: la mayor parte de las matemáticas se han vuelto discretas. Hoy en día, la palabra “discreta”, además de la representación clásica, también significa matemáticas destinadas a crear algoritmos informáticos. Con su componente discreto, las matemáticas crean hoy en día las condiciones para automatizar y optimizar el proceso de enseñanza en varias disciplinas, incluidas las propias matemáticas.

La modelización matemática de diversos objetos y procesos y los experimentos computacionales que sustituyen a los de la vida real forman parte desde hace tiempo de la ciencia moderna. Hoy en día, no sólo los cálculos, sino la supercomputación en potentes ordenadores con un rendimiento de cientos de teraflops, varios petaflops, y pronto incluso más, están a la orden del día. En un futuro próximo su rendimiento alcanzará 1 petaflops.

La supercomputación se basa en operaciones computacionales masivamente paralelas y a menudo requiere métodos matemáticos y algoritmos fundamentalmente diferentes de los que parecían óptimos para la computación convencional. Por ejemplo, durante los últimos 40 años, los matemáticos han preferido los esquemas implícitos de diferencia de tiempo para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Ahora resulta que utilizando el paralelismo masivo de operaciones, a menudo son preferibles los esquemas computacionales explícitos en el tiempo.

Ahora, incluso los ordenadores domésticos y escolares comunes utilizan procesadores multinúcleo. El paralelismo de los cálculos y otras operaciones se está convirtiendo en algo habitual. Por ejemplo, el principio del paralelismo se utiliza ampliamente en las tarjetas de vídeo para juegos de ordenador. Sin duda, ha llegado el momento de incluir las técnicas iniciales de cálculo en paralelo en los cursos escolares de matemáticas e informática.

Otra nueva dirección de las matemáticas modernas son los fractales. Se trata de una rama relativamente joven del análisis matemático moderno, la geometría y la topología. Los fractales son regiones de atracción (o sus límites) que tienen una disposición bastante complicada y un aspecto bastante extraño. Aquí es donde se produce la transición “del orden al caos”. La estructura de los límites entre las diferentes regiones de atracción es muy importante e interesante. En sentido figurado, sus centros de atracción luchan por influir en los planos. Cualquier punto inicial, ya sea bajo la influencia controladora, llega a uno u otro centro de atracción, o se queda en el límite y no puede de ninguna manera “tomar una decisión definitiva en qué dirección empezar a moverse”.

El límite de la zona de atracción es un fractal si está fuertemente fracturado, no es una línea suave. Y está tan roto que si lo miras con un microscopio, digamos, con 10 aumentos, sigue pareciendo igual de roto. Aumentando la resolución del microscopio, por ejemplo hasta 100x (y más), encontramos que el borde sigue tan roto como antes.

Además, se observa otro sorprendente efecto de autosimilaridad: cada fragmento de la frontera, por pequeño que sea, es similar a la frontera original. Si se examina con un microscopio un trozo elegido arbitrariamente de la frontera, se comprueba que, tras una rotación adecuada de la imagen, la misma forma aparece en distintos lugares, pero tiene dimensiones diferentes (infinitesimalmente decrecientes).

Así, los conjuntos formados por estados puntuales “indefinidos” pueden organizarse de forma extremadamente compleja y caótica, aunque al mismo tiempo llevan una estructura bien organizada de autosimilaridad.

El análisis matemático y la geometría modernos han desarrollado métodos para el estudio de los fractales, incluyendo programas informáticos. Si se conoce (se da) uno u otro control (estímulo) del sistema, en principio es posible calcular e incluso dibujar (en un ordenador) las áreas de influencia de los diferentes centros de atracción y sus límites. Estos métodos pueden resultar útiles en el estudio de complejos modelos contemporáneos de determinados procesos económicos.

Otra posible área de conocimiento en la que aparecen naturalmente los fractales es la modelización de los procesos biológicos y sociales. En el campo de las ciencias sociales, la teoría matemática de los fractales aún no se ha aplicado adecuadamente, por lo que sabemos, aunque puede ser muy útil. No es casualidad que los politólogos y los políticos estén ahora muy interesados en ella. Con la ayuda de las fronteras-fractales es posible describir los estados de ánimo de aquella parte de la población (electorado), que aún no ha decidido la elección de uno u otro centro de atracción (influencia) para sí misma.

Una descripción matemática y una modelización del comportamiento de esta parte de la población pueden ser de gran interés. A primera vista, estos grupos indecisos y vacilantes están dispuestos de forma bastante caótica. Si, por el contrario, descubrimos que tienen una estructura fractal (aparentemente caótica en apariencia), esto sugeriría que la autosimilaridad está en juego aquí.

Los centros de enseñanza superior y secundaria de todo el mundo están atravesando un periodo de profunda y amplia transformación. Las matemáticas también se han visto afectadas. Lo que más distinguía a la enseñanza de las matemáticas en el pasado, hasta los años 70, era la aplicación del principio “tener pocos conceptos, pero ser capaz de identificar las conexiones más profundas posibles entre ellos”. Esto se consiguió principalmente resolviendo un gran número de problemas de complejidad creciente.

Desgraciadamente, el último tercio del siglo XX y el comienzo del siglo XXI han estado marcados por una inversión de este principio: “tener muchos conceptos e identificar las conexiones superficiales entre ellos”, lo que ha llevado a lo que podríamos llamar una enseñanza “prescriptiva” de las matemáticas (y de otras disciplinas), a menudo sin pruebas.

La educación matemática es uno de los factores más importantes que determinan el nivel de desarrollo económico y sociopolítico de un país. No es casualidad que los años de florecimiento de la escuela matemática rusa fueran los de la prioridad espacial de nuestro país. Fue entonces cuando se construyó el sistema de educación matemática, cuyos logros son reconocidos en todo el mundo. Y hoy en día, la enseñanza de las matemáticas sigue teniendo un nivel muy alto.

Pero, desgraciadamente, preservar estos logros requiere un gran esfuerzo, ya que este sistema no encaja bien con las tendencias de desarrollo actuales. Y la enseñanza de las matemáticas no pasa por su mejor momento, lo que se debe, entre otras cosas, a razones globales. Tanto las instituciones de enseñanza superior como las de enseñanza secundaria atraviesan un difícil período de reformas.

Uno de los factores principales y globales que influyen en el desarrollo del sistema educativo es un enfoque pragmático, es decir, su reducción a un mercado de servicios educativos. Los empresarios se están convirtiendo en actores activos en el espacio educativo, animando a las universidades a adaptar su educación a las necesidades específicas del mercado laboral.

Está claro que este enfoque de la educación, puramente orientado al mercado, no puede beneficiar ni al Estado, ni a la sociedad ni al individuo. Sobre todo, es una amenaza para la ciencia básica y la educación, que se adaptan mal a las necesidades del mercado laboral actual. La transferencia de los mecanismos de mercado a la ciencia y la educación está plagada de pérdidas estratégicas, que a largo plazo pueden ser mayores que los beneficios actuales. Sólo un especialista con una formación básica y amplia puede adaptarse rápida y eficazmente a trabajar en un entorno de rápidos cambios tecnológicos.

No hay que olvidar la enseñanza de las humanidades. Aunque no es rentable, es esencial para la educación personal y el desarrollo social sostenible. Por desgracia, también las matemáticas son cada vez menos populares como disciplina fundamental, a diferencia de la gestión o el derecho, por ejemplo. Esto, por supuesto, afecta a su situación en la escuela y en la enseñanza superior, donde la competencia por los departamentos de matemáticas es cada vez menor. Esto, a su vez, conduce inevitablemente a una disminución del prestigio del profesor de matemáticas y, por tanto, a una disminución de la exigencia de excelencia profesional del profesor.

No existe un sistema de reciclaje continuo, de desarrollo profesional. No hay afluencia de los graduados más talentosos de las universidades pedagógicas y matemáticas a las escuelas. A esto hay que añadir el factor demográfico desfavorable. Como resultado, el tono intelectual, que siempre se ha considerado un rasgo distintivo de nuestra intelectualidad, está cayendo; se están perdiendo importantes cualidades del entorno que dio origen a figuras destacadas de su tiempo, pensadores, científicos, creadores.

El contenido de la educación matemática no está cambiando para mejor. Existe, por ejemplo, un nuevo peligro: la orientación de los cursos escolares no hacia un estudio realmente profundo y sistemático de la materia, sino hacia la preparación para el acceso a la universidad. En consecuencia, los cursos escolares son cada vez más primitivos, lo que suele explicarse como una lucha contra la sobrecarga de los alumnos. A este respecto, conviene citar la opinión del eminente fisiólogo N.E. Vvedensky: “Uno se cansa no por trabajar demasiado, sino por trabajar mal, ineptamente. Si una persona está entusiasmada, no se cansa y no se da cuenta del tiempo.

Una buena educación en matemáticas también es valiosa porque implica el desarrollo personal, el desarrollo de rasgos tan importantes como la ambición, la honestidad intelectual, la voluntad, el esfuerzo por la creatividad y la excelencia estética. El papel de las matemáticas aumenta desmesuradamente en la Sociedad de la Información, en una economía basada en el conocimiento. En consecuencia, hay una mayor responsabilidad sobre los hombros de los profesores, que se enfrentan a una tarea de enormes proporciones.